1. 三角形内角和定理
三角形三个内角的和等于 ；三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和（证明见八上第七章）。
2. 等腰三角形
- AB
- 5.89
- AC
- 5.01
- 中线 AM
- M 是 BC 中点
- 高 AH
- AH ⊥ BC
- 角平分线 AD
- ∠BAD = ∠CAD
拖动 A：一般三角形里，蓝、紫、橙三条线是分开的。让 AB = AC 时它们会合成一条。
- 等边对等角：等腰三角形的两个底角相等。反过来，等角对等边。
- 三线合一：顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合。
- 等边三角形三个角都是 ；有一个角是 的等腰三角形是等边三角形。
3. 直角三角形
- 对边 BC
- 2.5
- 斜边 AB
- 5
- BC ÷ AB
- 0.5
∠A = 30° 时，BC 正好是斜边 AB 的一半！
理由：延长 BC 到 B′ 使 CB′ = BC，△ABB′ 的三个角都是 60°，是等边三角形，所以 BC = ½BB′ = ½AB。
- 在直角三角形中，如果一个锐角等于 ，那么它所对的直角边等于斜边的一半。
- 勾股定理及其逆定理。
- 判定直角三角形全等的特殊方法 HL：斜边和一条直角边分别相等。
4. 线段的垂直平分线与角平分线
- OA
- 3.27
- OB
- 3.27
- OC
- 3.27
线段垂直平分线上的点到线段两端距离相等，所以交点 O 到 A、B、C 一样远——以它为圆心能画出过三个顶点的圆。把三角形拖成钝角，O 会跑到外面。
应用：要在三个村庄之间建一所到三村距离相等的学校，就建在外心处。
| 线段的垂直平分线 | 角平分线 | |
|---|---|---|
| 性质 | 上面的点到线段两端点距离相等 | 上面的点到角两边距离相等 |
| 判定 | 到两端点距离相等的点在垂直平分线上 | 角内部到两边距离相等的点在角平分线上 |
| 三角形中 | 三条交于一点，到三个顶点距离相等 | 三条交于一点，到三条边距离相等 |
例题 在 △ABC 中，AB = AC，∠A = 36°，BD 平分 ∠ABC 交 AC 于 D。图中有几个等腰三角形？
- ∠ABC = ∠C = (180° − 36°) ÷ 2 = 72°，△ABC 是等腰三角形。
- BD 平分 ∠ABC，∠ABD = ∠DBC = 36° = ∠A，所以 △ABD 中 AD = BD。
- △BDC 中 ∠BDC = 180° − 36° − 72° = 72° = ∠C，所以 BD = BC。
- 共 3 个等腰三角形：△ABC、△ABD、△BDC。
等腰三角形的一个角是 80°，它的底角是？