一次函数（八年级上）

y = kx + b：k 像滑梯的坡度，b 像电梯的起点楼层。拖一拖滑块，看直线怎么变。

1. 函数：一个 x 只对应一个 y

在一个变化过程中有两个变量 $x$ 和 $y$ ，如果给定一个 $x$ 的值， $y$ 都有唯一确定的值与它对应，就说 $y$ 是 $x$ 的函数。

函数机器：每个 x 只对应一个 y

输入 x1

x = 1 → y = 2x + 1 → y = 3

拖动 x，每个输入都会留下一个点。描够 5 个点后，虚线把它们连起来——这就是函数的图象。

注意 y = x² 时，x = 2 和 x = −2 得到同一个 y = 4——多个 x 对应一个 y 可以；但一个 x 绝不能对应两个 y。

形如 $y = k x + b$ （ $k$ 、 $b$ 是常数， $k \neq = 0$ ）的函数叫一次函数。当 $b = 0$ 时， $y = k x$ 叫正比例函数——它的图象一定过原点。

y = kx + b：拖一拖，看直线怎么变一次函数实验室

y = x + 2

斜率 k1

决定直线有多陡、往哪边斜

截距 b2

决定直线从 y 轴哪个高度出发

k = 1：x 每向右走 1 格，y 上升 1 格，直线从左下往右上爬。

b = 2：直线在 y 轴上的"出发点"是 (0, 2)，在原点上方。

例题直线 y = kx + b 不经过第三象限，k、b 满足什么？

两点确定一条直线。已知直线上两个点，代入 $y = k x + b$ 得到关于 $k$ 、 $b$ 的方程组，解出来就行。

待定系数法：拖两个点，求出 k 和 b

设直线为 y = kx + b，把两点代入：

−1 = −2k + b　①
5 = 2k + b　②
② − ①：6 = 4k → k = 3/2
代回 ①：b = 2

解析式：y = (3/2)x + 2

"待定"：先把 k、b 当未知数留着；"系数"：用已知点列方程组把它们求出来。

一次函数的图象经过 (1, 3) 和 (−1, −1)，它的解析式是？

实际问题里，“固定费用 + 单价 × 数量”就是一次函数：固定费用是 $b$ ，单价是 $k$ 。比较两个方案，就是看两条直线谁在下面。

哪种话费套餐更划算？两条直线的交点就是分界点

每月通话（分钟）150

150 分钟时选套餐 B 更省 5 元

交点左边 B 线更低，右边 A 线更低。联立 0.1x + 20 = 0.2x 得 x = 200。