1. 圆
平面上到定点（圆心）的距离等于定长（半径）的所有点组成的图形叫圆。连接圆上两点的线段叫弦，经过圆心的弦是直径。
2. 垂径定理
- 半径 r
- 3
- 弦心距 d = OM
- 1.62
- 半弦 AM = MB
- 2.52
- d² + (½AB)²
- 9 = r²
OM ⊥ AB ⟹ AM = BM，并且平分弦所对的两条弧
半径、弦心距、半弦组成一个直角三角形：r² = d² + (AB/2)²。知道其中两个就能求第三个——这是圆中计算的万能钥匙。
垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧。
⊙O 的半径为 5，弦 AB = 8，圆心 O 到 AB 的距离是？
3. 圆周角和圆心角的关系
- 圆周角 ∠APB
- 65.9°
- 圆心角（弧 AB）
- 131.8°
- 比值
- 0.5
拖动 P 在圆上走：只要还在同一段弧上，∠APB 就不变（同弧所对的圆周角相等）。拖动 A、B 改变弧，圆周角始终是圆心角的一半。
推论：圆内接四边形的对角互补——把 P 拖到另一段弧上，∠APB 会变成 180° 减去原来的角。
- 同弧（或等弧）所对的圆周角相等，都等于它所对圆心角的一半。
- 直径所对的圆周角是直角；90° 的圆周角所对的弦是直径。
- 圆内接四边形的对角互补。
4. 确定圆的条件
不在同一直线上的三个点确定一个圆，圆心是三边垂直平分线的交点——三角形的外心。
- OA
- 3.27
- OB
- 3.27
- OC
- 3.27
线段垂直平分线上的点到线段两端距离相等，所以交点 O 到 A、B、C 一样远——以它为圆心能画出过三个顶点的圆。把三角形拖成钝角，O 会跑到外面。
应用：要在三个村庄之间建一所到三村距离相等的学校，就建在外心处。
5. 直线和圆的位置关系
d < r ⟺ 相交（2 个公共点）
把 d 调到正好等于 3，看看相切时发生了什么。
从圆外一点可以引圆的两条切线，切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角。
例题 如何证明一条直线是圆的切线？
- 看直线与圆有没有明确的公共点。
- 有公共点：连接圆心和这个点（得到半径），证明这条半径与直线垂直。
- 没有明确的公共点：过圆心作直线的垂线段，证明它的长度等于半径（d = r）。
- 口诀：“有点连半径，证垂直；无点作垂直，证半径。”
6. 弧长及扇形的面积
- 占整个圆
- 120 / 360 = 0.333
- 弧长 l
- nπr/180 = 2π ≈ 6.28
- 扇形面积 S
- nπr²/360 = 3π ≈ 9.42
- 也等于
- ½ l r = 9.42
圆心角是 n°，弧长就是周长的 n/360，扇形面积就是圆面积的 n/360。S = ½lr 和三角形面积公式很像：把扇形看成"底为弧长、高为半径"的三角形。