二次函数（九年级上）

拖动 a、b、c，看抛物线怎样开口、平移、与 x 轴相交。a 管开口，b 和 a 一起管对称轴，c 管和 y 轴的交点。

1. 认识二次函数

形如 $y = a x^{2} + b x + c$ （ $a$ 、 $b$ 、 $c$ 是常数， $a \neq = 0$ ）的函数叫二次函数，它的图象是抛物线。

二次函数实验室：拖动 a、b、c 看抛物线

y = x² − 2x − 3

a（开口方向、大小）1

b（和 a 一起决定对称轴）−2

c（与 y 轴交点）−3

例题抛物线 y = ax² + bx + c 开口向下、对称轴在 y 轴右侧、与 y 轴交于正半轴，判断 a、b、c 的符号

开口向下 → $a < 0$ 。在上图把 $a$ 调成负数。
对称轴 $x = - \frac{b}{2 a} > 0$ ，而 $a < 0$ ，所以 $b > 0$ ——口诀”左同右异”（对称轴在 y 轴左侧 a、b 同号，右侧异号）。
与 y 轴交于 $(0, c)$ ，在正半轴 → $c > 0$ 。
结论： $a < 0$ ， $b > 0$ ， $c > 0$ 。拖滑块验证图象。

20 米篱笆靠墙围菜园，怎样面积最大？

垂直于墙的边 x（米）3

面积 S 是 x 的二次函数，a = −2 < 0，开口向下，顶点处取最大值。拖动看看最大值在哪里。

注意自变量的取值范围：0 < x < 10。若墙长只有 8 米，则 20 − 2x ≤ 8，x ≥ 6，最大值要在 x = 6 处取。

抛物线 $y = a x^{2} + b x + c$ 与 x 轴交点的横坐标，就是方程 $a x^{2} + b x + c = 0$ 的根。
$Δ > 0$ ：两个交点； $Δ = 0$ ：一个交点（顶点在 x 轴上）； $Δ < 0$ ：没有交点。
方程 $a x^{2} + b x + c = m$ 的根，是抛物线与直线 $y = m$ 交点的横坐标（在上图打开”解 ax² + bx + c = m”）。

抛物线 y = x² − 2x + k 与 x 轴有两个交点，k 的取值范围是？